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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
6.22. Indicar cuál es la opción correcta y justificar: El área encerrada entre las curvas $y=e^{x}, y=e^{-x}, x=1$ y $x=-1$ se calcula como:
$\square$ $\int_{-1}^{1}(e^{x}-e^{-x}) d x$
$\square$ $\int_{-1}^{0} e^{-x} d x+\int_{0}^{1} e^{x} d x$
$\square$ $\int_{-1}^{0}(e-e^{-x}) d x+\int_{0}^{1}(e-e^{x}) d x$
$\square$ $\int_{-1}^{0}(e^{-x}-e^{x}) d x+\int_{0}^{1}(e^{x}-e^{-x}) d x$
Respuesta
Acá en este ejercicio claramente nos va a convenir hacer el gráfico de las funciones involucradas $y=e^{x}$ y $y=e^{-x}$. Fijate que son dos funciones fáciles, de la Práctica 1, que deberíamos saber graficar. Eso nos va a dar prácticamente enseguida la respuesta correcta, mirá:
Reportar problema
La intersección entre $e^x$ y $e^{-x}$ se da en $x=0$. Eso no es necesario que te lo acuerdes, es simplemente plantear
$e^x = e^{-x}$
$x = -x$
$2x = 0$
$x = 0$
Ya tenemos entonces que hay un punto de intersección en $x=0$, además de los límites de integración impuestos $x=-1$ y $x=1$ que ya los marqué en el gráfico.
La integral del área nos queda así entonces
$\int_{-1}^{0}(e^{-x}-e^{x}) d x+\int_{0}^{1}(e^{x}-e^{-x}) d x$
y por lo tanto esa es la opción correcta :)